studymathwithstudent: INTEGRAL SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus Identitas Trigonometri dan Invers Trigonometri

1) Identitas Trigonometri:

Sebenarnya teknik substitusi trigonometri ini tujuannya adalah untuk mengarahkan soal menjadi bentuk persamaan identitas trigonometri, yaitu:

$sin^{2}t + cos^{2}t = 1$

$1 + tan^{2}t = sec^{2}t$

$1 + cot^{2}t = csc^{2}t$

2) Invers Fungsi Trigonometri

Berikut bentuk inversnya:

Jika sin t = f(x), maka t = arc sin f(x)

Jika cos t = f(x), maka t = arc cos f(x)

Jika tan t = f(x), maka t = arc tan f(x)

Jika cot t = f(x), maka t = arc cot f(x)

Jika sec t = f(x), maka t = arc sec f(x)

Jika csc t = f(x), maka t = arc csc f(x)

Bentuk-Bentuk Substitusi Trigonometri

Bentuk $\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}}$ , substitusi $x = \frac{a}{b} sin t$ atau $x = \frac{a}{b} cos t$

Bentuk $\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}$ , substitusi $x = \frac{a}{b} tan t$ atau $x = \frac{a}{b} cot t$

Bentuk $\sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}}$ , substitusi $x = \frac{a}{b} sec t$ atau $x = \frac{a}{b} csc t$

Contoh Soal:

1. Tentukan hasil integral dari $\int\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} dx$ ?

Penyelesaian:

Bentuk $\sqrt{1 -x^{2}}$ , substitusi x = sin t atau x = cos t

Pertama, kita substitusi dengan x = sin t

$x = sin t \to t = arc sin x$

$x = sin (t) \to \frac{dx}{dt} = cos (t) \to dx = cos (t) dt$

$\sqrt{1 -x^{2}} = \sqrt{1 - sin^{2}t} = \sqrt{cos^{2}t} = cos (t)$

Gunakan rumus: $sin^{2}t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos (2t)$

dan sin 2t = 2 sin t.cos t

Serta $cos t= \sqrt{1 - sin^{2}t}= \sqrt{1 - x^{2}}$

Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel x dan dx nya:

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \int \frac{sin^{2}t}{cos t}cos (t)dt$

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \int (sin t)^{2}dt$

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos 2t dt$

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}.\frac{1}{2}sin 2t + c$

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}sin 2t + c$

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}.2.sin t. cos t+ c$

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}.sin t. cos t+ c$ (ubah dalam bentuk x)

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \frac{1}{2}arc sin x - \frac{1}{2}x.\sqrt{1-x^{2}}+ c$

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \frac{1}{2}arc sin x - \frac{x}{2}.\sqrt{1-x^{2}}+ c$

Jadi, hasilnya: $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \frac{1}{2}arc sin x - \frac{x}{2}.\sqrt{1-x^{2}}+ c$

Kedua, kita substitusi dengan x = cos t

$x = cos (t) \to t = arc cos (x)$

$x = cos (t) \to \frac{dx}{dt} = -sin (t)\to dx = -sin(t)dt$

$\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-cos^{2}t}=\sqrt{sin^{2}t}=sin (t)$

Gunakan rumus: $cos^{2}t= =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos(2t)$

dan sin 2t = s.sin t.cos t

Serta $sin(t)=\sqrt{1-cos^{2}t}=\sqrt{1-x^{2}}$

Kembali ke soalnya, kita semua ganti variabel x dan dx nya:

$\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int \frac{cos^{2}t}{sin(t)}.-sintdt$

$\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=-\int (cost)^{2}dt$

$\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=-\int \frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2tdt$

$\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=-(\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}sin 2t)+c$

$\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=-\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}.sin 2t+c$

$\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=-\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}.2.sint.cost+c$

$\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=-\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}.sint.cost+c$ (ubah dalam bentuk x)

$\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=-\frac{1}{2}arc cos x-\frac{1}{2}.\sqrt{1-x^{2}}.x+c$

$\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=-\frac{1}{2}arc cos x-\frac{x}{2}.\sqrt{1-x^{2}}+c$

Jadi, hasilnya: $\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=-\frac{1}{2}arc cos x-\frac{x}{2}.\sqrt{1-x^{2}}+c$

Kedua pemisalan di atas memberikan hasil yang berbeda, tapi kedua hasil integralnya sama-sama benar. Jika soalnya ada pilihannya (opsinya), maka hanya salah satu saja yang pasti ada, tidak mungkin keduanya. Dan jika soalnya berupa essay, maka hasilnya tergantung substitusi trigonometri yang kita pilih, dan keduanya benar.

2. Tentukan hasil integral dari $\int\frac{1}{4+x^{2}} dx$ ?