INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

 

Menurut defenisi, suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom). Sebagai contoh, perhatikan tiga fungsi berikut ini:

   

Fungsi f dan g di atas dinamakan fungsi rasional sejati karena pangkat dari pembilang kurang dari pangkat penyebut. Sebaliknya, fungsi h adalah fungsi rasional tidak sejati karena pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebut.

Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Sebagai contoh, perhatikan berikut ini:

Contoh:

1. 

Penyelesaian:

Dengan menggunakan substitusi u = x + 1, maka

2. 

Penyelesaian:

Oleh karena  maka penjabaran pecahan tersebut dapat ditulis dalam bentuk 

(1)  

Selanjutnya menentukan A dan B sehingga (1) menjadi suatu kesamaan. Untuk ini kita hilangkan pecahan, sehingga kita peroleh

(2) 3x - 1 = A(x - 3) + B(x + 2)

atau; dengan kesetaraan:

(3) 3x - 1 = (A + B)x + (-3A + 2B)

Perhatikan persamaan (3) yang mana akan bernilai benar jika dan hanya jika koefisien dengan pangkat yang sama di ruas kiri dan ruas kanan adalah sama, maka

A + B = 3

-3A + 2B = -1

Dari dua persamaan terssebut kita peroleh A = 7/5 dan B = 8/5. Sehingga

Dengan demikian,

3. 

Penyelesaian:

Untuk penyebut yang terdiri dari faktor linear berbeda dan ada yang berulang, maka kita jabarkan pemecahan integran dengan cara berikut.

Setelah penyebutnya dihilangkan, kita peroleh

Dengan substitusi x = 1, x = -3, dan x = 0, kita peroleh C = 2, A = 4, dan B = -1. Sehingga