studymathwithstudent: INTEGRAL FUNGSI RASIONAL KUADRAT

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL FAKTOR KUADRAT

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadrat atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan parsial $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{ax+b}+\frac{Bx+C}{px^{2}+qx+r}$ , berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A, B, dan C.

Contoh:

1. $\int\frac{6x^{2}-3x+1}{(4x+1)(x^{2}+1)} dx$
Penyelesaian:

Karena integran fungsi rasional sejati maka

$\int\frac{6x^{2}-3x+1}{(4x+1)(x^{2}+1)}dx=\int \frac{A}{4x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}dx$

$\int\frac{6x^{2}-3x+1}{(4x+1)(x^{2}+1)}dx=\int \frac{A(x^{2}+1)+(Bx+C)(4x+1)}{(4x+1)(x^{2}+1)}dx$

$\int\frac{6x^{2}-3x+1}{(4x+1)(x^{2}+1)}dx=\int \frac{(A+4B)x^{2}+(B+4C)x+(A+C)}{(4x+1)(x^{2}+1)}dx$

Diperoleh

A + 4B = 6, (B + 4C) = -3, (A + C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

$\int\frac{6x^{2}-3x+1}{(4x+1)(x^{2}+1)}dx=\int \frac{2}{(4x+1)}+\frac{x-1}{(x^{2}+1)}dx$

$\int\frac{6x^{2}-3x+1}{(4x+1)(x^{2}+1)}dx=\int \frac{2}{(4x+1)}dx+\int \frac{x}{(x^{2}-1)}dx-\int \frac{1}{(x^{2}-1)}dx$

$\int\frac{6x^{2}-3x+1}{(4x+1)(x^{2}+1)}dx=\frac{2}{4}ln\left| 4x+1\right|+\frac{1}{2}ln\left| x^{2}+1\right|-arc tan x+C$

2. $\int\frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{3}+2}dx$ (fungsi rasional sejati)
Penyelesaian:

$\int\frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{3}+2}dx=\int \frac{x^{3}+8x^{2}+x+2}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}dx$

$\int\frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{3}+2}dx=\int \frac{px+q}{(x^{2}+1)}+\frac{rx+s}{x^{2}+2}dx$

$\int\frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{3}+2}dx=\int\frac{(px+q)(x^{2}+2)+(rx+s)(x^{2}+1)}{x^{4}+3x^{3}+2}dx$ $\int\frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{3}+2}dx=\int\frac{(p+r)x^{3}+(q+s)x^{2}+(2p+r)x+(2q+s)}{x^{4}+3x^{3}+2}dx$

Didapat

p + r = 1, q + s = 1, 2p + r = 1, dan 2q + s = 2 atau p = 0, q = 1, r = 1, s = 0

sehingga

$\int\frac{px+q}{(x^{2}+1)}+\frac{rx+s}{(x^{2}+2)}dx=\int\frac{1}{(x^{2}+1)}+\frac{x}{(x^{2}+2)}dx$

studymathwithstudent

Senin, 27 Maret 2023

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL KUADRAT

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

TEKNOLOGI INFORMASI DAN KOMUNIKASI UNTUK PEMBELAJARAN

Laporkan Penyalahgunaan