studymathwithstudent: NOTASI SIGMA

Penulisan Sigma

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+...+100^{2}$

dan

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+...+a_{n}$

untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita tuliskan yang pertama sebagai

$\sum_{i=1}^{100}i^{2}$

dan yang kedua sebagai

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}$

disini $\sum$ (huruf kapital sigma Yunani), yang berpadanan dengan huruf kapital S, memyarankan kepada kita untuk menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks i terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang di atas tanda tersebut. Sehingga,

$\sum_{i=2}^{5}bi=b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}$

$\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$

$\sum_{k=1}^{4}\frac{k}{k^{2}+1}=\frac{1}{1^{2}+1}+\frac{2}{2^{2}+1}+\frac{3}{3^{2}+1}+\frac{4}{4^{2}+1}$

dan untuk $n\geq m,$

$\sum_{i=m}^{n}F(i)=F(m)+F(m+1)+F(m+2)+...+F(n)$

Jika semua c dalam $\sum_{i=1}^{n}c_{i}$ mempunyai nilai sama, katakan c, maka

$\sum_{i=1}^{n}c_{i}=\underset{n suku}{\underbrace{c+c+c+...+c}}=nc$

Sebagai suatu hasil, kita terima perjanjian

$\sum_{i=1}^{n}c_{i}=nc$

Khusunya,

$\sum_{i=1}^{5}2=5(2)=10$

$\sum_{i=1}^{100}(-4)=100(-4)=-400$

$\sum_{j=0}^{2}x^{3}=x^{3}+x^{3}$

Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubahan batas-batas jumlah.

Contoh 1:

$\sum_{k=1}^{5}2k=2+4+6+8+10$

$\sum_{k=0}^{4}(2k+2)=2+4+6+8+10$

$\sum_{k=2}^{6}(2k-2)=2+4+6+8+10$

Perubahan Indeks Jumlah

Contoh 2 nyatakan $\sum_{k=3}^{7}5^{k-2}$ dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigma adalah nol.

Penyelesaian:

misalkan indeks baru adalah j, maka

j = k - 3

sehingga jika k = 3, maka j = 0, dan jika k = 7, maka j = 4, Jadi j bergerak dari j = 0 sampai j = 4, Sehingga,

$\sum_{k=3}^{7}5^{k-2}=\sum_{j=0}^{4}5^{(j+3)-2}=\sum_{j=0}^{4}5^{j+1}$

Pembaca dapat mengecek bahwa $\sum_{k=3}^{7}5^{k-2}$ dan $\sum_{j=0}^{4}5^{j+1}$ adalah $5+5^{2}+5^{3}+5^{4}+5^{5}$

Sifat-sifat $\sum$ Dianggap sebagai operator, $\sum$ beroperasi pada barisan dan operator itu melakukannya secara linear.

Kelinearan $\sum$ Misalkan $(a_{i})$ dan $(b_{i})$ menyatakan dua barisan dan c suatu konstanta. Maka:

$(i)\sum_{i=1}^{n}ca_{i}=c\sum_{i=1}^{n}a_{i};$

$(ii)\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})=\sum_{i=1}^{n}a_{i}+\sum_{i=2}^{n}b_{i};$

$(iii)\sum_{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})=\sum_{i=1}^{n}a_{i}-\sum_{i=2}^{n}b_{i}.$

Kita akan membuktikan sifat (i) dan (ii)

Bukti (i)

$\sum_{i=1}^{n}ca_{i}=ca^{1}+ca_{2}+ca_{3}+...+ca_{n}$

$\sum_{i=1}^{n}ca_{i}=c(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$

$\sum_{i=1}^{n}ca_{i}=c\sum_{i=1}^{n}a_{i}$

Bukti (ii)

$\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+...+(a_{n}+b_{n})$

$\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+b_{1}+b_{2}+...+b_{n}$

$\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{i}+\sum_{k=1}^{n}b_{i}$

Contoh 3 Misalkan $\sum_{k=1}^{100}a_{i}=60$ dan $\sum_{k=1}^{100}b_{i}=11$ . Hitung $\sum_{i=1}^{100}(2a_{i}-3b_{i}+4)$

Penyelesaian:

$\sum_{i=1}^{100}(2a_{i}-3b_{i}+4)=\sum_{i=1}^{100}2a_{i}-\sum_{i=1}^{100}3b_{i}+\sum_{i=1}^{100}4$

$\sum_{i=1}^{100}(2a_{i}-3b_{i}+4)=2\sum_{i=1}^{100}a_{i}-3\sum_{i=1}^{100}b_{i}+\sum_{i=1}^{100}4$

$\sum_{i=1}^{100}(2a_{i}-3b_{i}+4)=2(60)-3(11)+100(4)=487$

studymathwithstudent

Selasa, 04 April 2023

NOTASI SIGMA

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

TEKNOLOGI INFORMASI DAN KOMUNIKASI UNTUK PEMBELAJARAN

Laporkan Penyalahgunaan