studymathwithstudent: April 2023

Jumat, 21 April 2023

INTEGRAL TENTU

Andaikan f fungsi kontinu pada selang [a,b] dan andaikan F fungsi sebarang anti turunan dari f, maka:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Bukti:

Karena f kontinu pada selang [a,b], maka f terintegralkan. Andaikan $P:a=x_{1}< x_{2}< x_{3}< ...< x_{n-1}< x_{n}=b$ adalah partisi sebarang pada selang [a,b] dengan membuat jumlahan yang saling menghapuskan.

$F(b)-F(a)=(F(x_{n})-F(x_{n-1}))+(F(x_{n-1})-F(x_{n-2}))+...+(F(x_{1})-F(x_{0}))$

$F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n}(F(x_{i})-F(x_{i-1}))$

Dengan teorema nilai rata-rata untuk turunan, maka terdapat $\overline{x_{i}}$ pada selang bagian $[x_{i},x_{i-1}]$ sedemikian hingga berlaku:

$F(x_{i})-F(x_{i-1})=F(\overline{x_{i}})(x_{i}.x_{i-1})$

$F(x_{i})-F(x_{i-1})=f(\overline{x_{i}})\Delta x_{i}$

sehingga, $F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n}f(\overline{x_{i}})\Delta x_{i}$

Karena ruas kiri berupa konstanta, maka berlaku:

$F(b)-F(a)=\underset{P\rightarrow 0}{lim}\sum_{i=0}^{n}f(\overline{x_{i}})\Delta x_{i}=\int_{a}^{b}f(x)dx$

Contoh 1

$\int_{-1}^{2}x^{2}dx=\frac{1}{3}x^{3}=\frac{1}{3}(2^{3}-(-1)^{3})=3$

Contoh 2

Sabtu, 15 April 2023

INTEGRAL TENTU - KONSEP LUAS

Pembahasan integral tentu khususnya luas poligon, baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang.

1. Luas menurut poligon dalam

Sebagai contoh, akan dicari L(P) Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva $y=f(x)=x^{2}$ , sumbu -x, garis x = 0 dan x = 2. Pertama dipartisikan selang $0\leq x\leq 2$ atas selang bagian yang sama dengan panjang $\Delta x=\frac{2}{n}$ , dan memakai titik-titik : $0=x_{0}< x_{1}< x_{2}<...< x_{n-1}< x_{n}=2$ , sehingga:

$x_{0}=0$

$x_{1}=0+\Delta x=2/n=1(2/n)$

$x_{2}=0+2\Delta x=4/n=2(2/n)$

$x_{3}=0+3\Delta x=6/n=3(2/n)$

hingga

$x_{n}=0+n\Delta x=n(2/n)=2$

Jika kita menggambar kurvanya tampak bahwa $L(P)_{dalam}< L(P)_{luar}$

Luas poligon dalam:

$L(P_{dalam})=f(x_{0})\Delta x+f(x_{1})\Delta x+f(x_{2})\Delta x+...+f(x_{n-1})\Delta x$

$L(P_{dalam})=(0)^{2}(2/n)+(1(2/n))^{2}(2/n)+..+(n-1)(2/n)^{2}(2/n)$

$L(P_{dalam})=(2/n)^{3}(0^{2}+1^{2}+2^{2}+...+(n-1)^{2})$

$L(P_{dalam})=(2/n)\sum_{i=0}^{n-1}i^{2}$

$L(P_{dalam})=(2/n)^{3}(1/6(n-1)(n)(2n-1))$

$L(P_{dalam})=8/3-4/n+4/3n^{2}$

Sehingga,

$\underset{n\rightarrow \infty }{lim}L(P_{dalam})=\underset{n\rightarrow \infty }{lim}(8/3-4/n+4/3n^{2})=8/3$

Luas poligon luar:

$L(P_{luar})=f(x_{1})\Delta x+f(x_{2})\Delta x+f(x_{3})\Delta x+...+f(x_{n})\Delta x$

Selasa, 04 April 2023

NOTASI SIGMA

Penulisan Sigma

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+...+100^{2}$

dan

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+...+a_{n}$

untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita tuliskan yang pertama sebagai

$\sum_{i=1}^{100}i^{2}$

dan yang kedua sebagai

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}$

disini $\sum$ (huruf kapital sigma Yunani), yang berpadanan dengan huruf kapital S, memyarankan kepada kita untuk menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks i terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang di atas tanda tersebut. Sehingga,

$\sum_{i=2}^{5}bi=b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}$

$\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$

$\sum_{k=1}^{4}\frac{k}{k^{2}+1}=\frac{1}{1^{2}+1}+\frac{2}{2^{2}+1}+\frac{3}{3^{2}+1}+\frac{4}{4^{2}+1}$

dan untuk $n\geq m,$

$\sum_{i=m}^{n}F(i)=F(m)+F(m+1)+F(m+2)+...+F(n)$

Jika semua c dalam $\sum_{i=1}^{n}c_{i}$ mempunyai nilai sama, katakan c, maka

$\sum_{i=1}^{n}c_{i}=\underset{n suku}{\underbrace{c+c+c+...+c}}=nc$

Sebagai suatu hasil, kita terima perjanjian

$\sum_{i=1}^{n}c_{i}=nc$

Khusunya,

$\sum_{i=1}^{5}2=5(2)=10$

$\sum_{i=1}^{100}(-4)=100(-4)=-400$

$\sum_{j=0}^{2}x^{3}=x^{3}+x^{3}$

Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubahan batas-batas jumlah.

Contoh 1:

$\sum_{k=1}^{5}2k=2+4+6+8+10$

$\sum_{k=0}^{4}(2k+2)=2+4+6+8+10$

$\sum_{k=2}^{6}(2k-2)=2+4+6+8+10$

Perubahan Indeks Jumlah

Contoh 2 nyatakan $\sum_{k=3}^{7}5^{k-2}$ dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigma adalah nol.

Penyelesaian:

misalkan indeks baru adalah j, maka

j = k - 3

sehingga jika k = 3, maka j = 0, dan jika k = 7, maka j = 4, Jadi j bergerak dari j = 0 sampai j = 4, Sehingga,

$\sum_{k=3}^{7}5^{k-2}=\sum_{j=0}^{4}5^{(j+3)-2}=\sum_{j=0}^{4}5^{j+1}$

Pembaca dapat mengecek bahwa $\sum_{k=3}^{7}5^{k-2}$ dan $\sum_{j=0}^{4}5^{j+1}$ adalah $5+5^{2}+5^{3}+5^{4}+5^{5}$

Sifat-sifat $\sum$ Dianggap sebagai operator, $\sum$ beroperasi pada barisan dan operator itu melakukannya secara linear.

Kelinearan $\sum$ Misalkan $(a_{i})$ dan $(b_{i})$ menyatakan dua barisan dan c suatu konstanta. Maka:

$(i)\sum_{i=1}^{n}ca_{i}=c\sum_{i=1}^{n}a_{i};$

$(ii)\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})=\sum_{i=1}^{n}a_{i}+\sum_{i=2}^{n}b_{i};$

$(iii)\sum_{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})=\sum_{i=1}^{n}a_{i}-\sum_{i=2}^{n}b_{i}.$

Kita akan membuktikan sifat (i) dan (ii)

Bukti (i)

$\sum_{i=1}^{n}ca_{i}=ca^{1}+ca_{2}+ca_{3}+...+ca_{n}$

$\sum_{i=1}^{n}ca_{i}=c(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$

$\sum_{i=1}^{n}ca_{i}=c\sum_{i=1}^{n}a_{i}$

Bukti (ii)

$\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+...+(a_{n}+b_{n})$

$\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+b_{1}+b_{2}+...+b_{n}$

$\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{i}+\sum_{k=1}^{n}b_{i}$

Contoh 3 Misalkan $\sum_{k=1}^{100}a_{i}=60$ dan $\sum_{k=1}^{100}b_{i}=11$ . Hitung $\sum_{i=1}^{100}(2a_{i}-3b_{i}+4)$

Penyelesaian:

$\sum_{i=1}^{100}(2a_{i}-3b_{i}+4)=\sum_{i=1}^{100}2a_{i}-\sum_{i=1}^{100}3b_{i}+\sum_{i=1}^{100}4$

$\sum_{i=1}^{100}(2a_{i}-3b_{i}+4)=2\sum_{i=1}^{100}a_{i}-3\sum_{i=1}^{100}b_{i}+\sum_{i=1}^{100}4$

$\sum_{i=1}^{100}(2a_{i}-3b_{i}+4)=2(60)-3(11)+100(4)=487$

studymathwithstudent