studymathwithstudent: INTEGRAL TENTU

Andaikan f fungsi kontinu pada selang [a,b] dan andaikan F fungsi sebarang anti turunan dari f, maka:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Bukti:

Karena f kontinu pada selang [a,b], maka f terintegralkan. Andaikan $P:a=x_{1}< x_{2}< x_{3}< ...< x_{n-1}< x_{n}=b$ adalah partisi sebarang pada selang [a,b] dengan membuat jumlahan yang saling menghapuskan.

$F(b)-F(a)=(F(x_{n})-F(x_{n-1}))+(F(x_{n-1})-F(x_{n-2}))+...+(F(x_{1})-F(x_{0}))$

$F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n}(F(x_{i})-F(x_{i-1}))$

Dengan teorema nilai rata-rata untuk turunan, maka terdapat $\overline{x_{i}}$ pada selang bagian $[x_{i},x_{i-1}]$ sedemikian hingga berlaku:

$F(x_{i})-F(x_{i-1})=F(\overline{x_{i}})(x_{i}.x_{i-1})$

$F(x_{i})-F(x_{i-1})=f(\overline{x_{i}})\Delta x_{i}$

sehingga, $F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n}f(\overline{x_{i}})\Delta x_{i}$

Karena ruas kiri berupa konstanta, maka berlaku:

$F(b)-F(a)=\underset{P\rightarrow 0}{lim}\sum_{i=0}^{n}f(\overline{x_{i}})\Delta x_{i}=\int_{a}^{b}f(x)dx$

Contoh 1

$\int_{-1}^{2}x^{2}dx=\frac{1}{3}x^{3}=\frac{1}{3}(2^{3}-(-1)^{3})=3$

Contoh 2

studymathwithstudent

Jumat, 21 April 2023

INTEGRAL TENTU

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

TEKNOLOGI INFORMASI DAN KOMUNIKASI UNTUK PEMBELAJARAN

Laporkan Penyalahgunaan