INTEGRAL FUNGSI RASIONAL KUADRAT

 

   

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL FAKTOR KUADRAT

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadrat atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan parsial , berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A, B, dan C.

Contoh:

1. 
Penyelesaian:

Karena integran fungsi rasional sejati maka

Diperoleh 

A + 4B = 6, (B + 4C) = -3, (A + C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

2.  (fungsi rasional sejati)
Penyelesaian:

Didapat

p + r = 1, q + s = 1, 2p + r = 1, dan 2q + s = 2 atau p = 0, q = 1, r = 1, s = 0

sehingga 

 

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

 

Menurut defenisi, suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom). Sebagai contoh, perhatikan tiga fungsi berikut ini:

   

Fungsi f dan g di atas dinamakan fungsi rasional sejati karena pangkat dari pembilang kurang dari pangkat penyebut. Sebaliknya, fungsi h adalah fungsi rasional tidak sejati karena pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebut.

Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Sebagai contoh, perhatikan berikut ini:

Contoh:

1. 

Penyelesaian:

Dengan menggunakan substitusi u = x + 1, maka

2. 

Penyelesaian:

Oleh karena  maka penjabaran pecahan tersebut dapat ditulis dalam bentuk 

(1)  

Selanjutnya menentukan A dan B sehingga (1) menjadi suatu kesamaan. Untuk ini kita hilangkan pecahan, sehingga kita peroleh

(2) 3x - 1 = A(x - 3) + B(x + 2)

atau; dengan kesetaraan:

(3) 3x - 1 = (A + B)x + (-3A + 2B)

Perhatikan persamaan (3) yang mana akan bernilai benar jika dan hanya jika koefisien dengan pangkat yang sama di ruas kiri dan ruas kanan adalah sama, maka

A + B = 3

-3A + 2B = -1

Dari dua persamaan terssebut kita peroleh A = 7/5 dan B = 8/5. Sehingga

Dengan demikian,

3. 

Penyelesaian:

Untuk penyebut yang terdiri dari faktor linear berbeda dan ada yang berulang, maka kita jabarkan pemecahan integran dengan cara berikut.

Setelah penyebutnya dihilangkan, kita peroleh

Dengan substitusi x = 1, x = -3, dan x = 0, kita peroleh C = 2, A = 4, dan B = -1. Sehingga

 

  

INTEGRAL PARSIAL

 

Rumus integral parsial:

Keterangan:

u = f(x), maka du = f(x) dx

dv = g(x) dx, maka v = g(x) dx

Contoh soal:

1. Nilai dari 

Pembahasan:

Misalkan: 

Sehingga

INTEGRAL SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI

 

Rumus Identitas Trigonometri dan Invers Trigonometri

1) Identitas Trigonometri:

Sebenarnya teknik substitusi trigonometri ini tujuannya adalah untuk mengarahkan soal menjadi bentuk persamaan identitas trigonometri, yaitu:

2) Invers Fungsi Trigonometri

Berikut bentuk inversnya:

Jika sin t = f(x), maka t = arc sin f(x)

Jika cos t = f(x), maka t = arc cos f(x)

Jika tan t = f(x), maka t = arc tan f(x)

Jika cot t = f(x), maka t = arc cot f(x)

Jika sec t = f(x), maka t = arc sec f(x)

Jika csc t = f(x), maka t = arc csc f(x)

Bentuk-Bentuk Substitusi Trigonometri

Bentuk , substitusi  atau 

Bentuk, substitusi  atau 

Bentuk , substitusi  atau 

Contoh Soal:

1. Tentukan hasil integral dari ?

Penyelesaian:

Bentuk , substitusi x = sin t atau x = cos t

Pertama, kita substitusi dengan x = sin t

Gunakan rumus: 

dan sin 2t = 2 sin t.cos t

Serta 

Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel x dan dx nya:

 (ubah dalam bentuk x)

Jadi, hasilnya: 

Kedua, kita substitusi dengan x = cos t

Gunakan rumus: 

dan sin 2t = s.sin t.cos t

Serta 

Kembali ke soalnya, kita semua ganti variabel x dan dx nya:

 (ubah dalam bentuk x)

Jadi, hasilnya: 

Kedua pemisalan di atas memberikan hasil yang berbeda, tapi kedua hasil integralnya sama-sama benar. Jika soalnya ada pilihannya (opsinya), maka hanya salah satu saja yang pasti ada, tidak mungkin keduanya. Dan jika soalnya berupa essay, maka hasilnya tergantung substitusi trigonometri yang kita pilih, dan keduanya benar.

2. Tentukan hasil integral dari ?

Penyelesaian:

Bentuknya adalah , substitusi x = 2 tan t

Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel x dan dx nya:

Jadi, hasilnya: