studymathwithstudent: Mei 2023

Jumat, 19 Mei 2023

INTEGRAL TAK WAJAR

Bentuk $\int_{a}^{b}f(x)dx$ disebut Integral Tidak Wajar jika:

a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b] sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefenisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ tidak berlaku lagi.

Contoh:

1. $\int_{0}^{4}\frac{dx}{4-x}$ , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)

2. $\int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x-1}}$ , f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]

3. $\int_{0}^{4}\frac{dx}{(2-x)^{\frac{2}{3}}}$ , f(x) tidak kontinu di $x=2 \varepsilon [0,4]$ atau f(x) kontinu di

$[0,2)\cup (2,4]$

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga

1. $\int_{0}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}+4}$ , integran f(x) memuat batas atas di $x=\infty$

2. $\int_{-\infty }^{0}e^{2x}dx$ , integran f(x) memuat batas bawah di $x=-\infty$

3. $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{1+4x^{2}}$ , integran f(x) memuat batas atas di $x=\infty$ dan batas bawah di $x=-\infty$

Pada contoh a (1, 2, 3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga $(\infty )$ .

Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi integral tak wajar dengan integran tidak kontinu integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

Integral tak wajar dengan integran diskontinu

a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b

Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan defenisi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di $x=b-\varepsilon (\varepsilon \to 0^{+})$ , sehingga

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{\varepsilon \to 0^{+}}{lim}\int_{a}^{b-c}f(x)dx$

Karena batas atas $x=b-\varepsilon (x\to b^{-})$ , maka

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{t\to b^{-}}{lim}\int_{a}^{t}f(x)dx$

Contoh:

1. $\int_{0}^{4}\frac{dx}{\sqrt{4-x}}=\underset{\varepsilon \to 0^{+}}{lim}\int_{0}^{4-x}\frac{dx}{\sqrt{4-x}}$ f(x0 tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga

$\int_{0}^{4}\frac{dx}{\sqrt{4-x}}=[\underset{\varepsilon \to 0^{+}}{lim}-2\sqrt{4-x}]^{4-\varepsilon }_{0}$

Jumat, 12 Mei 2023

VOLUME BENDA PUTAR PART 2

Metode Kulit Silinder

Sebuah kulit silinder adalah benda pejal putar yang dibatasi oleh dua silinder tegak yang sepusat, dimana jari-jari dalam adalah r dan jari-jari luar adalah r, dan tinggi silinder adalah h.

V = (luas alas).(tinggi)

$V=(\Pi r_{2}^{2}-\Pi r_{1}^{2})h$

$V=\Pi (r_{2}+r_{1})(r_{2}-r_{1})h$

$V=2\Pi (\frac{r_{2}+r_{1}}{2h})h(r_{2}-r_{1})$

dimana $\frac{r_{2}+r_{1}}{2}=r=\Delta r$

$V=2\Pi .(jari-jari rata-rata).(tinggi).(tebal)$

$V=2\Pi rh\Delta r$

Sumbu putar horizontal

$V=2\Pi \int_{c}^{d}[p(y)t(y)]dy$

Sumbu putar vertikal

$V=2\Pi \int_{a}^{b}[p(x)t(x)]dx$

Selasa, 09 Mei 2023

VOLUME BENDA PUTAR

Volume Benda Putar

Apa yang disebut volume? Kita mulai dengan benda pejal sederhana yang disebut silinder tegak. Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh h dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda pejal didefenisikan sebagai luas alas A dikalikan tinggi h, yakni V = A.h

Sebuah benda pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-x dan misalkan bahwa luas penampang pada x adalah A(x) dengan $a\leq x\leq b$ (Gambar 2). Kita partisikan interval [a,b] dengan menyisipkan titik-titik $a=x_{0}< x_{1}< x_{2}< ...< x_{i}=b$ . Kemudian kita lewatkan bidang-bidang melalui titik-titik ini tegak lurus pada sumbu-x, sehingga mengiris benda menjadi lempengan-lempengan tipis (Gambar 3). Volume $\Delta V$ suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder, yakni $\Delta V_{i}=A(\overline{x_{l}})\Delta x_{i}$

(Ingat bahwa $\overline{x_{l}}$ disebut titik sampel adalah sebarang bilangan dalam interval $[x_{i-1},x_{i}]$ ). Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann

$V\approx \sum_{i=1}^{n}A(\overline{x_{l}})\Delta x_{i}$

Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefenisikan sebagai volume benda-pejal

$V=\int_{a}^{b}A(x)dx$

a. Pemutaran mengelilingi sumbu-x

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b. Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu-x membentuk bangun berupa benda padat (pejal) yang dapat diiris menjadi lempengan-lempengan. Volume $\Delta V$ suatu lempengan kira-kira sama dengan suatu silinder, yakni

$\Delta V_{i}=A(\overline{x_{l}})\Delta x_{i}$

Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann

Kamis, 04 Mei 2023

LUAS DAERAH BIDANG DATAR

A. Luas Suatu Luasan

Luas didefenisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan persamaan y = f(x) atau x = g(y) atau y = f(x), x = g(y) yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positif dan luasan negatif. Luasan positif adalah luasan dengan persamaan y = f(x) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu-x atau luasan dengan persamaan x = g(y) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di sebelah kanan sumbu-y. Luas negatif adalah luasan dengan persamaan y = f(x) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu-x atau luasan dengan persamaan x = g(y) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di sebelah kiri sumbu-y.

a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat

Perhatikan gambar luasan di bawah ini

R sebagaimana terlihat pada gambar di atas adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x), x = a, x = b. Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan

$A(R)=\int_{a}^{b}f(x)dx$

Jika luasan terletak di bawah sumbu-y, maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk

studymathwithstudent